由參數(shù)α，β生成的模糊粗糙集的粗糙度度量補充

四川廣播電視大學(xué)　吳潤民

【摘　要】　模糊粗糙集的粗糙度度量是根據(jù)粗糙集理論和模糊集理論而構(gòu)建的一種新的度量方法。該方法能較好地發(fā)揮粗糙集理論和模糊集理論的長處，克服了兩者的不足。本文結(jié)合集合間的相互關(guān)系及集合的運算規(guī)律，對M.Banerjee,S.K.Pal等構(gòu)建的由參數(shù)α，β生成的模糊粗糙集的粗糙度度量方法[2]具有的性質(zhì)和定理進行補充，并對補充的性質(zhì)和定理給出了證明。

【關(guān)鍵詞】　參數(shù)α，β；模糊粗糙集；粗糙度

如何在信息不完全、不精確或模糊的情況下，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)挖掘潛在的、有利用價值的信息已成為學(xué)術(shù)界面臨的一大難題。因此，作為有效解決此類問題的兩大理論基礎(chǔ)，由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的粗糙集理論和美國著名控制論專家Zadeh提出的模糊集理論[1] ，近年來得到了較為迅速的發(fā)展。粗糙集是通過集合關(guān)于已知可利用信息的一對上、下近似來描述不確定性概念，而模糊集則是通過對象關(guān)于集合的隸屬程度來近似描述，這兩種理論有著很強的互補性。但兩者都存在著不足，粗糙集理論沒有給出如何用已知的知識粒來精確或近似地描述邊界不確定的目標集合X的方法。模糊集理論的隸屬程度給出的大多是由專家憑經(jīng)驗給出的，存在著較大的主觀性。因此，如何有效的結(jié)合兩種理論，克服各自缺陷，給出更為有效的描述方法成為研究的重點。本文結(jié)合集合間的相互關(guān)系及集合的運算規(guī)律，對M.Banerjee,S.K.Pal等構(gòu)建的由參數(shù)　,αβ生成的模糊粗糙集的粗糙度度量方法[2]具有的性質(zhì)和定理進行補充，并對補充的性質(zhì)和定理給出了證明。

定義　1[3]　給定信息表知識表達系統(tǒng)，對于任一對象集合X　U　和屬性集合，X關(guān)于R的上近似集和下近似集分別定義如下：是不分明關(guān)系R在U上的劃分。集合稱為X的R正域，稱為X的R邊界域。

定義2[4]　設(shè)，若對，，則稱關(guān)系R是自反的。

下面從設(shè)定相關(guān)參數(shù)的角度定義粗糙度，并驗證了粗糙度具有的相關(guān)性質(zhì)。

定義3[2]　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，A∈F(U)，則A在近似空間(U,R)下依參數(shù)0＜β≤α≤1的下近似和上近似分別為：

性質(zhì)1　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，則對于0＜β≤α≤1有

性質(zhì)2　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，則對于0＜β≤α≤1有

性質(zhì)3　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，則對于0＜β≤α≤1有

若AB，則

性質(zhì)4　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，且A≈B，則對于0＜β≤α≤1有

證明：由A B≈有

性質(zhì)5　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，則對于0＜β≤α≤1有

性質(zhì)6　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，　A,B∈F(U)，則對于0＜β≤ α≤1有

推論1設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，A,B∈F(U)，則對于0＜β≤α≤1有

證明 因為　A?B= A∩～B ，根據(jù)性質(zhì)1及性質(zhì)6則有

定理1　設(shè)1R和2R為論域U上的兩個模糊自反關(guān)系，若

證明：

由R1　R2有R1(x,y)　≤　R2(x,y)，則

定理2 設(shè)1R和2R為論域U上的兩個模糊自反關(guān)系，　A∈F(U)則有

證明：

定義4　[2] 設(shè)U 是非空有限論域， R 是U 上的模糊自反關(guān)系，A∈F(U)，定義A在近似空間(U,R)下依參數(shù)α ,β ，0＜β ≤α ≤1的粗糙度

通過對參數(shù)的假設(shè)，由定義可得如下性質(zhì)：

（2）若1R和2R為U上的兩個模糊自反關(guān)系，

（ 3 ） 若A∈P(U) ， 且對關(guān)系R 恒有

證明：

（2）由A 是U 上的經(jīng)典子集，則對任意x∈U ， A(x) = 0或A(x) =1。由定義可知，此時上近似

由

定理3設(shè)U 是非空有限論域，是U 上的模糊自反關(guān)系，A, B∈ F(U)，且A B，0＜β ≤α ≤1，則

（2）由AB有 R(A)β R(B)β 。又已知則有

推論2　設(shè)U 是非空有限論域， R 是U 上的模糊自反關(guān)系， A, B∈ F(U)，若A ≈ B ，則對任意α ,β 滿足0＜β ≤α ≤1有

定理4設(shè)U 是非空有限論域，R 是U 上的模糊自反關(guān)系， A, B∈ F(U) ， 參數(shù)α ,β 滿足0＜β≤α≤1，則有

假設(shè)

類似的，若也可證得相同結(jié)論。

定理5設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，,() A B F U∈　，參數(shù),αβ滿足則有

證明

定理6　設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，,() A B F U∈　，0 1 βα＜≤≤，若，則有

證明　由A?B = A∩～B有

定理7設(shè)U是非空有限論域，R是U上的模糊自反關(guān)系，,() A B F U∈　，參數(shù),αβ滿足0＜β≤α≤1，則有

參考文獻

[1] A. Zadeh. FuzzySets. Information and Control, 1965

[2] M. Banerjee, S. K. Pal. Roughness of fuzzy set[J]. Information Scienees. 1996, 93: 235-246

[3] 張文修，吳偉志等. 粗糙集理論與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001

[4] 陳水利，李敬功，王向公. 模糊集理論及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2013

[5] S. Bodjanova. APProximation of fuzzy concepts in decision making[J]. Fuzzy Sets and Systems. 1997, 85: 23-29

[6] D. Dubois, H. Prade. Two fold fuzzy sets and rough sets-some issues in bowledge representation[J]. Fuzzy Sets And Systems, 1987, 23: 3-18